Featured post
เรียนภาษาไทย-ติวO-NETสังคม : ความไม่บังเอิญเกี่ยวกับวันเกิด (คณิตศาสตร์)
- รับลิงก์
- อีเมล
- แอปอื่นๆ
ความไม่บังเอิญเกี่ยวกับวันเกิด (คณิตศาสตร์)
วันนี้ผมมาทำหน้าที่นักคณิตศาสตร์แก้ปัญหาเรื่องความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญมากในการติดสินใจต่าง ๆ ผมจะยกตัวอย่างสำคัญเรื่องการเล่นหวยหรือที่บางคนเรียกว่าล็อตเตอรี่ นักคณิตศาสตร์มีความลำบากใจมากในเรื่องนี้ เพราะในขณะที่ฝ่ายหนึ่งด่านักคณิตศาสตร์ว่าทำไมไม่เห็นเตือนสติชาวบ้านว่า หวยเป็นสาเหตุหนึ่งที่ทำให้เกิดความยากจน ฝ่ายที่ชื่นชอบการเล่นหวยก็ด่าว่าอย่ามาขัดขวางหนทางร่ำรวยของเขา
http://www2.manager.co.th/asp-bin/Image.aspx?ID=2564317 |
เราลองมาดูการแทงเลขท้ายสองตัวดูนะครับ มันออกได้ 100 แบบ คือ 00 01 02 … ยัน 99 เวลามันออก 00 ชาวบ้านก็บ่นว่าเลยไม่สวย ใครจะแทงถูก เวลามันออกซ้ำกับงวดที่เพิ่งออกไปไม่นาน ชาวบ้านก็ด่าว่าแล้วยังงี้จะแทงถูกได้ไงวะ เวลาแทงผิดไปนิดเดียวก็เจ็บใจและมีพลังแค้นเล่นงวดต่อ ๆ ไป เราจะกลับมาวิเคราะห์เรื่องนี้ในตอนท้ายหลังจากดูเรื่องมหัศจรรย์เกี่ยวกับ การตรงกันของวันเกิดนะครับ
กิจกรรมที่เรามักทำร่วมกันในกลุ่มเพื่อนหรือญาติก็คือกินเลี้ยงวันเกิด ใครเกิดใกล้ ๆ กัน ก็รวมมาเลี้ยงพร้อมกันจะได้ไม่ต้องจัดกันบ่อย ๆ แต่มันจะน่าตื่นเต้นเป็นพิเศษหากมีเพื่อนเราเกิดวันเดียวกันหลาย ๆ คน ยิ่งมากยิ่งฮา เมื่อถึงวันเกิดก็มักจะมีกิจกรรมพิเศษ ในขณะที่ส่วนใหญ่กินเลี้ยงหรือไปเที่ยว อีกส่วนน้อยก็เลือกที่จะทำอะไรแปลก ๆ ทั้งที่เปิดเผยได้และเปิดเผยไม่ได้
ตอนเรียนหนังสือระดับประถมหรือมัธยมเราก็จะเคยเจอว่ามีเพื่อนในห้องเรามีวัน เกิดตรงกัน ยิ่งมีจำนวนนักเรียนในห้องมาก ก็จะยิ่งมีโอกาสที่จะมีสักอย่างน้อยสองคนที่วันเกิดตรงกัน ถ้าจะให้แน่ใจได้ว่าจะมีคนเกิดตรงกันในห้องก็คงต้องให้มีนักเรียน 367 คน พูดง่าย ๆ ว่าถ้าจะไม่ให้มีการซ้ำกันเลยก็จะต้องมีนักเรียนได้อย่างมาก 366 คน ก่อนที่จะดูต่อไปผมขอให้เราพักไว้ก่อนว่า ลองมาตอบคำถามง่าย ๆ กันก่อน ถ้าจะให้โอกาสการมีวันเกิดซ้ำกันเป็น 50% เราจะต้องมีคนกี่คนเอ่ย 100? 150? 183? 200? คนสัก 50 คนจะมีโอกาสวันเกิดซ้ำกันมากแค่ไหน จำคำเดาของตัวเองไว้นะครับ เรากำลังจะไปคำนวณกันแล้วหละ
เป้าหมายของเราก็คือดูว่าหากเรามีคน N คน เมื่อ N เป็นจำนวนนับหรือจำนวนเต็มบวก จะมีโอกาสแค่ไหนที่จะมีคนเกิดวันเดียวกันบ้าง ก่อนอื่นเราต้องกล่าวถึง 2 หลักการต่อไปนี้
หลักการที่ 1 โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ ห เท่ากับ 1- โอกาสที่จะไม่เกิดเหตุการณ์ ห เท่ากับ 1- โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ไม่ ห เท่ากับ 1- โอกาสที่เกิดเหตุการณ์ ห ไม่ เท่ากับ 1- โอกาสที่จะไม่เกิดเหตุการณ์ไม่ ห ก็ใช่ไม่
หลักการที่ 2 โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 1 และ 2 ซึ่งเป็นอิสระต่อกันไม่เกี่ยวกันไม่มีผลต่อกัน เท่ากับ ผลคูณของโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 1 และโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 2 เท่ากับ โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 2 บวกกันโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 1 ครั้ง
ทีนี้ก็มาดูกันว่าคน N คน จะมีโอกาสเกิดไม่ตรงกันเลยเท่าใด ขอตกลงก่อนว่าปีหนึ่งมีแค่ 365 วัน เพื่อความสะดวก เพราะวันที่ 29 กุมภาพันธ์มันมีน้อยกว่าวันอื่นมาก ๆ เราเริ่มโดยแจกบัตรคิวให้ทุกคน เรียกคนที่หนึ่งเข้ามา จับนั่งให้เรียบร้อยตามแบบฉบับไทย ๆ เรียกคนที่สองมา โอกาสที่จะไม่เกิดตรงกับคนแรกคือ 364/365 เรียกคนที่สามมา โอกาสที่คนที่สามจะเกิดไม่ตรงกับสองคนแรกคือ 363/365 เรียกคนที่สี่เข้ามา โอกาสที่จะไม่เกิดตรงกับสามคนแรกคือ 362/365 ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ ก็จะพบว่าโอกาสที่คนสุดท้ายหรือคนที่ N จะเกิดไม่ตรงกับ N-1 คนแรกคือ (366-N)/365 ทำให้โอกาสที่จะไม่มีใครเกิดตรงกันเลยคือ
ดังนั้นโอกาสที่จะมีคนเกิดตรงกันบ้างคือ ทีนี้ก็มาดูกันว่าค่านี้มันจะสักเท่าไหร่กันเชียวในกรณีต่าง ๆ เช่น ห้องเรียนเด็กชาย ก. มีทั้งหมด 38 คน ก็จะมีโอกาส
เฮ้ย! ทำไมมันเยอะอย่างนี้วะ พูดออกมาเลยครับ ไม่ต้องเกรงใจกัน ค่ามันเยอะเกินคาดจริง ๆ เราลองมาดูค่านี้ ณ N ต่าง ๆ กันดูนะครับ เริ่มจาก 1 ถึง 100
จะเห็นว่าแค่ 60 คน มันก็มีโอกาสเกือบ 100% แล้ว ทีนี้เราก็มาดูภาพขยายช่วงต้นและท้ายดังนี้
ก็จะเห็นว่า ถ้าจะให้มีโอกาส 50% ที่จะเกิดตรงกัน ก็ขอให้มีคนเพียง 23 คนก็พอ ซึ่งจะมีโอกาส 50.7%
ส่วนนี้ก็จะบอกว่า 47 คนจะมีโอกาส 95.48% คือไม่ตรงกันเลยได้แค่ไม่ถึง 1 ใน 20 บ้าไปแล้ว
ตัวเองยอมรับมาเถอะว่ามันเกิดคาด
ดังนั้นพนันได้เลยว่าในกลุ่มที่มีคนเกิน 50 คนนั้นจะมีคนเกิดตรงกัน แทงหนึ่งจ่ายสิบได้เลย เอ๊ะ! ตรงลงผมเคยบอกว่าไม่ควรเล่นการพนันหรือเปล่าหว่า
ถ้าแค่นี้ยังไม่สะใจพอก็มาหาโอกาสที่จะมีวัน วันที่และเดือนเกิดตรงกัน ซึ่งมีตั้ง 7x365 = 2,555 แบบ แต่ก็อีกนั่นแหละ โอกาสมันมากจริง ๆ ที่ทำงานของผมมีอาจารย์ 60 ท่าน มีโอกาสเกิดวัน วันที่และเดือนตรงกันตั้ง 50.25% เชียวนะ
ไหน ๆ ก็ไหน ๆ แล้ว เรามาดูการเล่นหวยเลขท้ายสองตัวกันอย่างละเอียดดีกว่า ด้วยหลักการเดียวกันเราก็จะสรุปได้ว่าในไม่กี่งวดก็จะมีการออกซ้ำกันได้ ดังนั้นก็ไม่ใช้การล็อคเลขตามข่าวลือแต่อย่างใด (ประโยคนี้กองสลากกินแบ่งเป็นสปอนเซอร์)
ผมจึงขอแนะนำว่าการเล่นหวยเลขท้ายสองสามตัวนั้นควรเล่นกันเองในครอบครัวหรือ ถ้าเล่นบ่อยและหนักก็ควรเป็นเจ้ามือตัวเอง ในระยะยาวก็จะมีโอกาสกำไร แต่ผมก็ขอเตือนไว้ก่อนนะครับว่าเรื่องนี้มันเกี่ยวกับความน่าจะเป็น ไม่ใช่สิ่งที่จะเป็น ดังนั้นอาจมีบางบ้านที่ลองวิธีนี้ต้องบ้านแตกเพราะดันมีคนแทงถูกเยอะ ๆ จนเงินส่วนกลางไม่พอจ่าย อย่ามาโทษผมนะ
ดังนั้นจึงไม่ใช่เรื่องบังเอิญเลยที่ห้องเรียนเล็ก ๆ ที่ทำงานไม่ใหญ่ จะมีคนเกิดตรงกัน ไม่เชื่อพนันกับผมได้
ก็มาถึงช่วงของการบ้านนะครับ สำหรับคนที่ชอบหาความน่าจะเป็น เรื่องมีอยู่ว่าสมมุติว่าเรามีไพ่สองสำรับ สับแต่ละสำรับให้เละเลย ด้วยมือนะครับไม่ใช่มีด แล้วก็มาเปิดดูว่าใบแรกของแต่ละสำรับมันหน้าตรงกันไหม ต้องทั้งเลขและดอกตรงกันนะ ซึ่งก็มีโอกาสเพียง 1/52 หลังจากเอาโจ๊กเกอร์ออกไป แล้วก็เปิดใบที่สองของแต่ละสำรับดูว่ามันหน้าตรงกันไหม ทำไปเรื่อย ๆ จนหมด ใน 52 คู่นั้นมันจะตรงกันได้บ้างหรือเปล่า จะมีโอกาสตรงกันบ้างสักเท่าไรเชียว
อีกคำถามก็เป็นเรื่องการพนันล้วน ๆ ว่าเราควรมีหลักการอย่างไรในการแทงหวยเลขท้ายสองตัว หรือเล่นทายหัวก้อย ลองใช้สิ่งที่เพิ่งได้อ่านประกอบการคิดดูนะครับ
สุดท้ายผมก็ขอขอบคุณ อ.ดร.จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ ที่คณะครุศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยที่เล่าเรื่องน่าทึ่งพวกนี้ให้ผมและหลาย ๆ คนฟัง มันน่าตื่นเต้นจนผมต้องมาเล่าต่อ หวังว่าผู้อ่านจะรู้สึกสนุกกับคณิตศาสตร์ มากขึ้นนะครับ
กิจกรรมที่เรามักทำร่วมกันในกลุ่มเพื่อนหรือญาติก็คือกินเลี้ยงวันเกิด ใครเกิดใกล้ ๆ กัน ก็รวมมาเลี้ยงพร้อมกันจะได้ไม่ต้องจัดกันบ่อย ๆ แต่มันจะน่าตื่นเต้นเป็นพิเศษหากมีเพื่อนเราเกิดวันเดียวกันหลาย ๆ คน ยิ่งมากยิ่งฮา เมื่อถึงวันเกิดก็มักจะมีกิจกรรมพิเศษ ในขณะที่ส่วนใหญ่กินเลี้ยงหรือไปเที่ยว อีกส่วนน้อยก็เลือกที่จะทำอะไรแปลก ๆ ทั้งที่เปิดเผยได้และเปิดเผยไม่ได้
ตอนเรียนหนังสือระดับประถมหรือมัธยมเราก็จะเคยเจอว่ามีเพื่อนในห้องเรามีวัน เกิดตรงกัน ยิ่งมีจำนวนนักเรียนในห้องมาก ก็จะยิ่งมีโอกาสที่จะมีสักอย่างน้อยสองคนที่วันเกิดตรงกัน ถ้าจะให้แน่ใจได้ว่าจะมีคนเกิดตรงกันในห้องก็คงต้องให้มีนักเรียน 367 คน พูดง่าย ๆ ว่าถ้าจะไม่ให้มีการซ้ำกันเลยก็จะต้องมีนักเรียนได้อย่างมาก 366 คน ก่อนที่จะดูต่อไปผมขอให้เราพักไว้ก่อนว่า ลองมาตอบคำถามง่าย ๆ กันก่อน ถ้าจะให้โอกาสการมีวันเกิดซ้ำกันเป็น 50% เราจะต้องมีคนกี่คนเอ่ย 100? 150? 183? 200? คนสัก 50 คนจะมีโอกาสวันเกิดซ้ำกันมากแค่ไหน จำคำเดาของตัวเองไว้นะครับ เรากำลังจะไปคำนวณกันแล้วหละ
เป้าหมายของเราก็คือดูว่าหากเรามีคน N คน เมื่อ N เป็นจำนวนนับหรือจำนวนเต็มบวก จะมีโอกาสแค่ไหนที่จะมีคนเกิดวันเดียวกันบ้าง ก่อนอื่นเราต้องกล่าวถึง 2 หลักการต่อไปนี้
หลักการที่ 1 โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ ห เท่ากับ 1- โอกาสที่จะไม่เกิดเหตุการณ์ ห เท่ากับ 1- โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ไม่ ห เท่ากับ 1- โอกาสที่เกิดเหตุการณ์ ห ไม่ เท่ากับ 1- โอกาสที่จะไม่เกิดเหตุการณ์ไม่ ห ก็ใช่ไม่
หลักการที่ 2 โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 1 และ 2 ซึ่งเป็นอิสระต่อกันไม่เกี่ยวกันไม่มีผลต่อกัน เท่ากับ ผลคูณของโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 1 และโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 2 เท่ากับ โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 2 บวกกันโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 1 ครั้ง
ทีนี้ก็มาดูกันว่าคน N คน จะมีโอกาสเกิดไม่ตรงกันเลยเท่าใด ขอตกลงก่อนว่าปีหนึ่งมีแค่ 365 วัน เพื่อความสะดวก เพราะวันที่ 29 กุมภาพันธ์มันมีน้อยกว่าวันอื่นมาก ๆ เราเริ่มโดยแจกบัตรคิวให้ทุกคน เรียกคนที่หนึ่งเข้ามา จับนั่งให้เรียบร้อยตามแบบฉบับไทย ๆ เรียกคนที่สองมา โอกาสที่จะไม่เกิดตรงกับคนแรกคือ 364/365 เรียกคนที่สามมา โอกาสที่คนที่สามจะเกิดไม่ตรงกับสองคนแรกคือ 363/365 เรียกคนที่สี่เข้ามา โอกาสที่จะไม่เกิดตรงกับสามคนแรกคือ 362/365 ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ ก็จะพบว่าโอกาสที่คนสุดท้ายหรือคนที่ N จะเกิดไม่ตรงกับ N-1 คนแรกคือ (366-N)/365 ทำให้โอกาสที่จะไม่มีใครเกิดตรงกันเลยคือ
ดังนั้นโอกาสที่จะมีคนเกิดตรงกันบ้างคือ ทีนี้ก็มาดูกันว่าค่านี้มันจะสักเท่าไหร่กันเชียวในกรณีต่าง ๆ เช่น ห้องเรียนเด็กชาย ก. มีทั้งหมด 38 คน ก็จะมีโอกาส
เฮ้ย! ทำไมมันเยอะอย่างนี้วะ พูดออกมาเลยครับ ไม่ต้องเกรงใจกัน ค่ามันเยอะเกินคาดจริง ๆ เราลองมาดูค่านี้ ณ N ต่าง ๆ กันดูนะครับ เริ่มจาก 1 ถึง 100
จะเห็นว่าแค่ 60 คน มันก็มีโอกาสเกือบ 100% แล้ว ทีนี้เราก็มาดูภาพขยายช่วงต้นและท้ายดังนี้
ก็จะเห็นว่า ถ้าจะให้มีโอกาส 50% ที่จะเกิดตรงกัน ก็ขอให้มีคนเพียง 23 คนก็พอ ซึ่งจะมีโอกาส 50.7%
ส่วนนี้ก็จะบอกว่า 47 คนจะมีโอกาส 95.48% คือไม่ตรงกันเลยได้แค่ไม่ถึง 1 ใน 20 บ้าไปแล้ว
ตัวเองยอมรับมาเถอะว่ามันเกิดคาด
ดังนั้นพนันได้เลยว่าในกลุ่มที่มีคนเกิน 50 คนนั้นจะมีคนเกิดตรงกัน แทงหนึ่งจ่ายสิบได้เลย เอ๊ะ! ตรงลงผมเคยบอกว่าไม่ควรเล่นการพนันหรือเปล่าหว่า
ถ้าแค่นี้ยังไม่สะใจพอก็มาหาโอกาสที่จะมีวัน วันที่และเดือนเกิดตรงกัน ซึ่งมีตั้ง 7x365 = 2,555 แบบ แต่ก็อีกนั่นแหละ โอกาสมันมากจริง ๆ ที่ทำงานของผมมีอาจารย์ 60 ท่าน มีโอกาสเกิดวัน วันที่และเดือนตรงกันตั้ง 50.25% เชียวนะ
ไหน ๆ ก็ไหน ๆ แล้ว เรามาดูการเล่นหวยเลขท้ายสองตัวกันอย่างละเอียดดีกว่า ด้วยหลักการเดียวกันเราก็จะสรุปได้ว่าในไม่กี่งวดก็จะมีการออกซ้ำกันได้ ดังนั้นก็ไม่ใช้การล็อคเลขตามข่าวลือแต่อย่างใด (ประโยคนี้กองสลากกินแบ่งเป็นสปอนเซอร์)
ผมจึงขอแนะนำว่าการเล่นหวยเลขท้ายสองสามตัวนั้นควรเล่นกันเองในครอบครัวหรือ ถ้าเล่นบ่อยและหนักก็ควรเป็นเจ้ามือตัวเอง ในระยะยาวก็จะมีโอกาสกำไร แต่ผมก็ขอเตือนไว้ก่อนนะครับว่าเรื่องนี้มันเกี่ยวกับความน่าจะเป็น ไม่ใช่สิ่งที่จะเป็น ดังนั้นอาจมีบางบ้านที่ลองวิธีนี้ต้องบ้านแตกเพราะดันมีคนแทงถูกเยอะ ๆ จนเงินส่วนกลางไม่พอจ่าย อย่ามาโทษผมนะ
ดังนั้นจึงไม่ใช่เรื่องบังเอิญเลยที่ห้องเรียนเล็ก ๆ ที่ทำงานไม่ใหญ่ จะมีคนเกิดตรงกัน ไม่เชื่อพนันกับผมได้
ก็มาถึงช่วงของการบ้านนะครับ สำหรับคนที่ชอบหาความน่าจะเป็น เรื่องมีอยู่ว่าสมมุติว่าเรามีไพ่สองสำรับ สับแต่ละสำรับให้เละเลย ด้วยมือนะครับไม่ใช่มีด แล้วก็มาเปิดดูว่าใบแรกของแต่ละสำรับมันหน้าตรงกันไหม ต้องทั้งเลขและดอกตรงกันนะ ซึ่งก็มีโอกาสเพียง 1/52 หลังจากเอาโจ๊กเกอร์ออกไป แล้วก็เปิดใบที่สองของแต่ละสำรับดูว่ามันหน้าตรงกันไหม ทำไปเรื่อย ๆ จนหมด ใน 52 คู่นั้นมันจะตรงกันได้บ้างหรือเปล่า จะมีโอกาสตรงกันบ้างสักเท่าไรเชียว
อีกคำถามก็เป็นเรื่องการพนันล้วน ๆ ว่าเราควรมีหลักการอย่างไรในการแทงหวยเลขท้ายสองตัว หรือเล่นทายหัวก้อย ลองใช้สิ่งที่เพิ่งได้อ่านประกอบการคิดดูนะครับ
สุดท้ายผมก็ขอขอบคุณ อ.ดร.จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ ที่คณะครุศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยที่เล่าเรื่องน่าทึ่งพวกนี้ให้ผมและหลาย ๆ คนฟัง มันน่าตื่นเต้นจนผมต้องมาเล่าต่อ หวังว่าผู้อ่านจะรู้สึกสนุกกับคณิตศาสตร์ มากขึ้นนะครับ
โดย ผศ.ดร.วัชรินทร์ วิชิรมาลา
ที่มาจาก : vcharkarn.com
- รับลิงก์
- อีเมล
- แอปอื่นๆ
โพสต์ยอดนิยมจากบล็อกนี้
ดาวน์โหลด"มานะมานี" แจกไฟล์ตำราเรียนฟรี
ดาวน์โหลด"มานะมานี" แจกไฟล์ตำราเรียนฟรี สวัสดีครับทุกท่าน ปัญหาการอ่านเขียนไม่คล่องของเด็กและเยาวชนของเรานับวันยิ่งมีปัญหาทวีความรุนแรงขึ้น เรื่อย ๆ จนน่ากลัว การแก้ไขปัญหาภาษาไทยนี้ อาจจะไม่ใช่เรื่องง่าย ๆ ของหน่วยงานที่มีหน้าที่ความรับผิดชอบด้านการศึกษาเสียแล้วครับ เมื่อหลายท่าน ทั้งพ่อแม่ ผู้ปกครอง ครูบาอาจารย์ มีความเห็นตรงกันว่า จะปล่อยปะละเลยต่อปัญหานี้ ก็คงจะไม่ใช่เรื่องที่ดี วันนี้ ครูเดชจึงได้นำไฟล์ตำราเรียน ที่แสนจะวิเศษ และผมเองกล้าการันตรีว่า หากนักเรียน หรือ ผู้ที่มีปัญหาภาษาไทย ได้ตั้งใจอ่าน ตั้งใจทำความเข้าใจ จะสามารถพัฒนาภาษาไทยไปได้อย่างดีเยี่ยมเลยครับ "มานะ มานี" นอกจากจะเป็นตำราภาษาไทย ที่คนที่มีอายุหลายท่านได้สัมผัสเรียนรู้ในวิชาภาษาไทยมาแล้ว ท่านจะทราบว่าตำราเรียนเล่มนี้ ไม่ได้มีแต่ความรู้ภาษาไทย อย่างเดียวไม่ หากแต่มีความน่าสนุก น่าสนใจ และความตื้นเต้น กลวิธีนี้เองล่ะครับ ที่ผมเห็นว่า เป็นอุบายล่อให้เด็กสนใจตำราเรียนได้เป็นอย่างดี ความสนุก ความเพลิดเพลิน เมื่อนักเรียนอ่านจบเล่ม ตัวละครก็จบชั้นเดียวกัน เมื่อเลื่อนชั้น นักเรี
กทม. 6 โซน : เพื่อวางแผนเส้นทางการสอนสำหรับติวเตอร์
ให้ติวเตอร์ใช้เขตพื้นที่เหล่านี้ เพื่อระบุพื้นที่ที่ท่านสามารถเดินทางไปสอนได้สะดวกครับ ศูนย์จะแจ้งงานให้ท่านทราบตามพื้นที่การเดินทางที่ท่านสะดวกครับ โปรดแจ้งตามความสะดวกจริง เพื่อความรวดเร็วในการรับงานสอนนะครับ 1.กลุ่มกรุงเทพกลาง ประกอบด้วย เขตพระนคร ดุสิต ป้อมปราบศัตรูพ่าย สัมพันธวงศ์ ดินแดง ห้วยขวาง พญาไท ราชเทวี และวังทองหลาง 2.กลุ่มกรุงเทพใต้ ประกอบด้วย เขตปทุมวัน บางรัก สาทร บางคอแหลม ยานนาวา คลองเตย วัฒนา พระโขนง สวนหลวง และบางนา 3. กลุ่มกรุงเทพเหนือ ประกอบด้วย เขตจตุจักร บางซื่อ ลาดพร้าว หลักสี่ ดอนเมือง สายไหม และบางเขน 4.กลุ่มกรุงเทพตะวันออก ประกอบด้วย เขตบางกะปิ สะพานสูง บึงกุ่ม คันนายาว ลาดกระบัง มีนบุรี หนองจอก คลองสามวาและประเวศ 5.กลุ่มกรุงธนเหนือ ประกอบด้วย เขตธนบุรี คลองสาน จอมทอง บางกอกใหญ่ บางกอกน้อย บางพลัด ตลิ่งชันและทวีวัฒนา 6.กลุ่มกรุงธนใต้ ประกอบด้วย เขตภาษีเจริญ บางแค หนองแขม บางขุนเทียน บางบอน ราษฎร์บูรณะและทุ่งครุ เรียนออนไลน์ เรียนภาษาไทยออนไลน์ เรียนอ่านเขียนภาษาไทยออนไลน์ หาครูสอนภาษาไทยออนไลน์ หาครูสอนภาษาไทยท
แจกฟรีแบบฝึกหัดภาษาไทยมานะมานี ป.1
แจกฟรี แบบฝึกหัดภาษาไทยใช่ควบคู่กับตำรามานะมานี ป. 1 คลิกที่ลิงก์เพื่อดาวน์โหลดครับ แบบฝึกหัด มานะมานีบทที่ 1-5 แบบฝึกหัด มานะมานีบทที่ 6-10 แบบฝึกหัด มานะมานีบทที่ 11-15 แบบฝึกหัด มานะมานีบทที่ 16-20 แบบฝึกหัด มานะมานีบทที่ 21-25 แบบฝึกหัด มานะมานีบทที่ 26-30 แบบฝึกหัด มานะมานีบทที่ 31-35 อยู่ในขณะจัดทำ แบบฝึกหัด มานะมานีบทที่ 36-40 อยู่ในขณะจัดทำ เรียนออนไลน์ เรียนภาษาไทยออนไลน์ เรียนอ่านเขียนภาษาไทยออนไลน์ หาครูสอนภาษาไทยออนไลน์ หาครูสอนภาษาไทยที่ออสเตรเลีย หาครูสอนภาษาไทยที่ญี่ปุ่น หาครูสอนภาษาไทยที่เวียดนาม หาครูสอนภาษาไทยที่อเมริกา หาครูสอนภาษาไทยที่เยอรมัน หาครูสอนภาษาไทยที่ฝรั่งเศส Learn Thai with native speakers. หาครูสอนภาษาไทยอ่านเขียน สอนอ่านหนังสือภาษาไทย สอนอ่านเขียน ลูกอ่านภาษาไทยไม่ออก หาครูแก้ไขภาษาไทย สถาบันสอนภาษาไทย โรงเรียนสอนภาษาไทย หาครูสอนภาษาไทยนานาชาติ หาครูสอนภาษาไทยลูกครึ่ง หาครูสอนภาษาไทยออนไลน์ หาครูสอนพิเศษ ห